Kareköklü İfadeler

KAREKÖKLÜ İFADELER

n  Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = a şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.

Örnekler:

• n = 2 için a : Karekök a,
• n = 3 için a : Küpkök a,
• n = 4 için a : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N  Z+ olmak üzere a için a0 olmalıdır.

Örnekler

• x4 = -16 ise x  R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
-16  R, -7  R fakat
x3 = -8 ise x = -8  R dir.

Soru-1

A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3  0 ve 5-x  0
 x3 ve 5x
 3  x  5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması

a = am/n dir.

Örnek:

• 8 = 23 = 23/4, -2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm
2x = (0,5)2x-1  2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
 x/3 = (1 – 2x)/(2)
 x = 8/3 dir.

Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,

(a )m = am





Örnekler:

• (-2 )4 = (-2)4 = 16
• (2 )3 = 23 = 8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n  Z+ olmak üzere,

a , n tek sayı
an =
a , n çift sayı


Örnekler:

• 125 = 53 = 5,
• -8 = (-2)3 = -2
• 1/32 = (1/2)5 = ½
• 16 = 24 = 2 = 2
• (3 – 2)2 = 3 - 2 olur.
Burada 3 - 2  0 olduğundan,
3 - 2 = -(3 – 2) = 2 - 3
•26 = (22)3 = 4
•27/32 = (3.32)/(2.42) = 3/43/2

Soru-3

243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4
= 3.3 / 2.10-1.3
= 3.10 / 2 = 15 tir.

Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.

a/c . b = (an.b)/(cn)

Not: n çift sayı ise a/c  0 olmalıdır.
Örnekler:
• 2.3/16 = (3.25)/(16) = 6
• x.y.1/x2y2 = x3y3/x2y2 = xy
• -1/3 . 27 = -27/34 = -1/3 tür.

Soru-4

A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
5-3  0 olduğundan,
A = (5 – 3)7+35
= -(3-5)7+35
= -(3-5)2 .(7+35)
= -(14-65)(7+35)
= -2(7-35).(7+35)
= -2[72 – (35)2]
= -2.4 = -22 dir.

Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k  Z+ olmak üzere

an = an.k = an/k

Örnekler:

• 32 = 25 = 2
• 3 = 32 = 9
• -2 = -2 = -24 = -16
• (-2)6 = 26 = 26 = 2 dir.

Soru-5

x = 2 , y = 3 , ve z = 5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = 2 = 26 = 264
y = 3 = 34 = 81
z = 5 = 53 = 125 ve
1258164 olduğundan zyx tir.

Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xa + y a – z a = (x+y-z)a gibi.

Örnekler:


• 3 + 2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
• 7 + 7 (köklerin kuvvetleri farklı)
• 35 +5 -25 = (3+2-1)5 = 25 tir.
Soru-6
48 + 12 - 27/4 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

48 + 12 - 27/4 = 3.42 + 3.22 - (3.32)/(22)
= 43 + 23 – 3/23
= (4+2-3/2)3 = 9/23 tür.
Soru-7
8 + -128 + 16 işleminin sonucu nedir?

Çözüm

8 + -128 + 16 = 23 + 2.(-4)3 + 24
= 2 - 42 + 2
= (1-4+1)2
= -22



Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:

a . b = a.b
a / b = a/b

Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
a . b = am . bn = am.bn
a / b = am / bn = am/bn (b0) dir.
Örnek:
• (2 . 3) / (5 ) = (2.3)/(5) = 6/5 tir.
Soru-7

2 . 16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
2 . 16 = 2 . 24
= 25 . 24.3
= 25 . 212 = 217
= 215 . 22 = 24 tür.
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n  m, b  0 olmak üzere, a/bm şeklindeki ifadelerde pay ve payda bn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / bm = (a / bm ) . (bn-m / bn-m) = (a . bn-m) / (b) dir.

Örnekler

• a/b = (a/b) . (b/b) = (ab)/(b)
• 1/32 = (1/25) . (22/22) = 4/2
• 1 / (2.3) = [1/(2.3)].[(22.3)/(22.3)] = (4.3)/(2.3) = (4.3)/(6)
2-)a/(b-c) şeklindeki ifadelerde pay ve payda b+c ile,
a/(b+c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b-c ile çarpılır.

(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
(b - c)(b + c) = (b)2 – (c)2 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
a/(b-c) = [a/(b-c)].[(b+c)/(b+c)] = [a(b+c)] / [b-c]
a/(b+c) = [a/(b+c)].[(b-c)/(b-c)] = [a(b-c)] / [b-c] dir.

Örnek:

• 1/(5 – 2) = [1/(5-2)].[(5+2)/(5+2)] = [5 + 2] / [(5)2 – 22] = 5 + 2
• 2/(5 + 3) = [2/(5+3)].[(5-3)/(5-3)] = [2(5-3)] / [(5)2-(3)2] = 5-3
Soru-8
3/4-7 ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

3/4-7 = (3/4-7).(4+7)/(4+7)
= (34+7)/42 – (7)2 = (34+7)/9
= 4+7 dir.
Not: n  Z+ olmak üzere, paydada a-b ifadesi varsa pay ve payda a+b ile,paydada a+b ifadesi varsa pay ve payda a-b ile çarpılır.

Soru-8

1/(2-1) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(2-1) = [1/(2-1)].[(2+1)/(2+1)]
= [2+1]/[(2)2-11] = (2 + 1) / (2 – 1)
= [(2+1)/(2-1)].[(2-1)/(2-1)]
= (2+1)(2+1) dir.

3-) a/b - c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b2 + bc + c2 ile çarpılır.
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(b - c )(b2 + bc + c2 ) = (b )3 – (c )3 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (b - c ) = [a / (b - c )].[(b2 + bc + c2 ) / (b2 + bc + c2 )]
= [a(b2 + bc + c2 )] / [b - c]
a/b + c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b2 - bc + c2 ile çarpılır.
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(b + c )(b2 - bc + c2 ) = (b )3 + (c )3 = b + c dir.
Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (b + c ) = [a / (b + c )].[(b2 - bc + c2 ) / (b2 - bc + c2 )]
= [a(b2 - bc + c2)] / [b + c]

Örnek:

• 1 / (5 - 3 ) = [1 / (5 - 3 )].[(52 + 5.3 + 32 ) / (52 + 5.3 + 32 )]
= [25 + 15 + 9 ] / [(5 )3 – (3 )3]
= (25 + 15 + 9 ) / 2
Soru-10
1 / (9 + 6 + 4) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm

1/(9+6+4) = [1 / (32 + 3.2 + 22 )].[(3 - 2 )/(3 - 2 )]
= [3 - 2]/[(3)3 – (2)3
= 3 - 2 dir.
İç İçe Kökler
1-) x + 2y veya x - 2y şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,
x = a + b
olmak üzere
y = a . b
• x + 2y = (a + b )2 = a + b

a+b a.b
• x - 2y = (a - b )2 = a - b

a+b a.b
Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.

Örnekler:
• 4 + 23 = 3 + 1 = 3 + 1
• 7 - 212 = 4 - 3 = 2 - 3 tür.
Soru-11

3 + 5 - 3 - 5 işleminin sonucu nedir?
Çözüm 1
3 + 5 - 3 - 5 = [2(3 + 5)] / 2 - [2(3 - 5)] / 2
= [(6 + 25) / 2] – [(6 - 25) / 2]
= [(5 + 1) / 2] – [(5 – 1) / 2]
= (5 + 1 - 5 + 1) / 2
= 2
Çözüm 2
Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım
x = 3+5 - 3-5
x2 = (3+5 - 3-5 )2
x2 = (3+5 )2 +(3-5 )2-2(3+5)(3-5)
x2 = 3 + 5 + 3 - 5 - 232-(5)2
x2 = 6 - 24  x2 = 2 olur.
x = 3+5 -3-5  0 olduğundan
x = 2 dir.
Not:

a0 , b0 ve a2b olmak üzere,
a+b = [(a+a2-b )/(2)] + [(a+a2-b)/(2)
a+b = [(a+a2-b )/(2)] - [(a+a2-b)/(2)


1-) a = a dır. (m.n.t çift sayı ise a0 olmalıdır.)
Örnek:
• 2 = 2 = 2
Soru-12

222 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.

222 = 23.22 = 220.2
= 221 = 27 = 128 dir.
3-) İç İçe Sonsuz Kökler
a)
aaa... = a

aaa... = x  a.x = x
x
 x = a



Örnekler:

• 888... = 8 =2
• 777... = 7 = 7 dir.
b)
a:a:a: ... = a

a:a:a: ... = x  a:x = x
x  x = a
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
• 8:8:8: ... = 8 = 2 dir.
c)
a+a+a+ ... = (1+1+4a) / (2) (a0)
a-a-a- ... = (-1+1+4a) / (2) (a0)

aaa ... = x  ax =x
x  ax = x2
 (1+1+4a) / 2
şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
Örnek:
5+5+5+ ... = x  5+x = x  5+x = x2
x  x2 – x – 5 = 0
 x = (1+1+4.5)/(2)
 x = (1+21)/(2) dir.
Not:
a  0 olmak üzere,

a(a+1)+a(a+1)+a(a+1)+ ... = a+1
a(a+1)-a(a+1)-a(a+1)- ... = a

Örnek:
• 12+12+12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4)

3.4
• 30-30-30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6)

6.5



ÖSS SORULARI (1988-1997)
1997/SAYISAL
Soru No: 2
(40 . 18) / 80
İşleminin sonucu kaçtır?
A)3 B)2 C)1 D)45 E)25
Çözüm
(40.18) / 80 = 9 = 3 CEVAP A

Soru No: 4
0,00256 . (0,081)-1
İşleminin sonucu kaçtır?
A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4
Çözüm
(0,4)4 . [(0,2)3]-1 = 0,4 . (0,2)-1
= 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B

Soru No: 25
25/64 + (1/9) – (5/12)
İşleminin sonucu kaçtır?
A)5/12 B)5/8 C)1/12 D)1/8 E)7/24
Çözüm
(5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = [(5/8)–(1/3)]2
= (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E


1996/SAYISAL
Soru No: 10
0,09’un karekökü kaçtır?
A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03
Çözüm
0,09 = (0,3)2 = 0,3 CEVAP D

Soru No: 11
(0,48 - 0,27)/1,47
İşleminin sonucu kaçtır?
A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03
Çözüm
(3.0,16 - 3.0,9) = (0,43 – 0,33)/0,73
=(0,13)/(0,73) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A

Soru No: 12
[3 / ((3 + 22)]+[3 / (3 - 22)]
İşleminin sonucu kaçtır?
A)6 B)9 C)12 D)16 E)18
Çözüm
{[3.(3-22)]/[9-8]}+{[3.(3+22)]/[9-8]}
= [9-62]+[9+62] = 18 CEVAP E
1995/SAYISAL
Soru No: 12
9+(-4)2-(-5)2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0 B)1 C)2 D)10 E)11
Çözüm
3 + -4 - -5 = 3 – (-4) – [-(-5)]
= 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C

1994/SAYISAL
Soru No: 11
a = 6+1 ve b = 6-1 olduğuna göre (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7
Çözüm
A+b = 26 ve a.b = 5
(a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab)
= [(a+b)-2ab]/(ab) = [(26)2 – 2.5]/5
= (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D
1992/SAYISAL
Soru No: 8
a2 = a şeklinde tanımlandığına göre,
[(-3)2 + 9 - (-9)2]/[(-3)2]
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9
Çözüm
(--3 + 3 - -9) / (-3) = (-3+3-9)/3
=-9/3 = -3 CEVAP B

1991/SAYISAL
Soru No: 13
(3.12)/(0,16 + 0,36)
İşleminin sonucu kaçtır?
A)0,6 B)0,9 C)6 D)9 E)23
Çözüm
[3.12]/[(0,4)2+(0,6)2] = (36)/(0,4+0,6)
= 6/1 = 6 CEVAP C

1990/SAYISAL
Soru No: 11
[1/(3-2)] + [1/(3+2)]
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)6 B)3 C)2 D)3+2 E)3-2
Çözüm
[(3+2)/(9-8)]+[(3-2)/(9-8)]
= (3 + 22 + 3 - 22) = 6 CEVAP A



Soru No: 22
(-4)2 - 42 – (-2)2
İşleminin sonucu kaçtır?
A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8
Çözüm
-4-4-(-8) = 4-4+8 = 8